Arkhimedes: Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia

 

Gaudeamus on tehnyt kulttuuriteon julkaisemalla Arkhimedeen (n. 287–212 eaa.) kirjoituksia. Kaikki muistavat koulufysiikasta Arkhimedeen lain, mutta nyt on mahdollista lukea sille keksijänsä todistus, joka on yksinkertaisesti nerokas. Kirjassa Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia on paljon muutakin nerokasta.

Helsingin yliopiston tutkijatohtori Johan Stén on kirjoittanut erinomaisen johdannon. Hän kertoo, mitä Arkhimedeen elämästä tiedetään, millaista oli aikakauden matematiikka ja astronomia, sekä ennen kaikkea millaisia kirjoituksia Arkhimedeelta on säilynyt. Stén selittää lyhyesti yhdentoista Arkhimedeen tutkielman sisällön nykymatematiikan kielellä ja merkinnöillä. Tutkielmia ovat mm. Tasokuvioiden tasapaino, Paraabelin neliöiminen, Mekaanisten teoreemojen menetelmä ja Ostomakhion sekä tähän kirjaan suomennetut Hiekanlaskija, Ympyrän mittaaminen, Kelluvat kappaleet I–II ja Helioksen karjan lukumäärä. Sténin johdanto helpottaa oleellisesti Arkhimedeen sanallisiin selityksiin ja geometriaan perustuvien kirjoitusten lukemista.

Johdannon matemaattisissa lausekkeissa on harmillisesti painovirheitä. Virheitä on termeissä (K:n sijasta P tms.), alaindekseissä, laskutoimitusten merkeissä. Kirjan kuvissakin on joitakin virheitä. Oikoluku olisi voinut olla tarkempi näin arvokkaassa teoksessa.

Arkhimedeen kirjoitukset on suomennettu alkukielestä kreikasta paitsi niiltä osin, kun alkuperäisteksti ei ole säilynyt. Silloin on käytetty latinankielistä käännöstä. Selittäviä viitteitä on runsaasti.

Hiekanlaskijassa Arkhimedes arvioi ”hiekanjyvien lukumäärän sellaisessa tilavuudessa, joka on yhtä suuri kuin maailman tilavuus”. Arkhimedeen käytössä ollut lukujärjestelmä oli hankala. Hän sai aikaan tuloksen, mutta tulosta tärkeämpää oli ilmeisesti osoittaa, miten suuria lukumääriä voidaan numeroida.

Kirjoituksessa Ympyrän mittaaminen Arkhimedes todistaa kolme propositiota eli väitettä. Niistä ensimmäinen:

”Jokainen ympyrä on yhtä suuri kuin suorakulmainen kolmio, jonka pystykateetti on ympyrän säteen pituinen ja pohjakateetti kehän pituinen.”

Tämän Arkhimedes todistaa osoittamalla, että väitteen mukaisen ympyrän pinta-ala ei voi olla suurempi eikä pienempi kuin kolmion. Todistuksessa hän käyttää ympyrän sisä- ja ulkopuolelle piirrettyjä neliöitä ja niitä jakamalla syntyviä monikulmioita.

Kolmas propositio koskee ympyrän kehän pituuden ja halkaisijan suhdetta eli nykyisin ilmaistuna piitä. Arkhimedes todistaa, että ympyrän ympärysmitan suhde sen läpimittaan on suurempi kuin 3 10/71 ja pienempi kuin 3 1/7. Arkhimedeella ei ollut käytössä desimaalilukuja, mutta desimaalilukuina hänen arvionsa olivat 3,140845 ja 3,142857.

Tutkielmassa Kelluvat kappaleet I Arkhimedes todistaa nimeään kantavan lain, mutta sitä ennen muun muassa proposition 2:

”Kaiken liikkumatta lepäävän nesteen pinta on pallon muoto, jonka keskipiste on sama kuin maan keskipiste.”

Maan pallomuoto oli siis itsestäänselvyys. Arkhimedeen laki on propositio 5, jonka hän itse muotoili seuraavasti:

”Jos kiinteä kappale on ominaispainoltaan kevyempi kuin neste, se vajoaa nesteeseen laskettuna siihen asti, että uponneen osan tilavuutta vastaava nesteen määrä painaa yhtä paljon kuin koko kiinteä kappale.”

Kelluvat kappaleet II todistaa useita väitteitä, jotka käsittelevät nesteessä kelluvaa pyörähdysparaboloidia. Arkhimedeen avaruusgeometrian tuntemus osoittautuu niin suureksi, että nykyajan algebrallisiin esitysmuotoihin tottunut ei voi kuin ihailla.

Lainaan johdantoa:

”Hän loi lähes tyhjästä teoreettiseen mekaniikkaan matemaattisia käsitteitä, kuten tasapainon, painopisteen ja ominaispainon, ja käytti niitä apuvälineinä rinnan geometristen todistustensa kanssa.”

Helioksen karjan lukumäärä on Arkhimedeen nimiin laitettu matemaattinen ongelma, joka on esitetty runomuodossa. Runossa määritellyt ehdot voidaan kirjoittaa seitsemän yhtälön yhtälöryhmäksi, joissa on kahdeksan tuntematonta. Ratkaisu ei siis ole yksikäsitteinen. Ensimmäinen tunnettu ratkaisu saatiin aikaan vasta vuonna 1880.

Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia näyttää, miten lahjakas matemaatikko Arkhimedes oli. Historiassa ei ole montakaan hänen vertaistaan. Hänen muista kirjoituksistaan ainakin Tasokuvioiden tasapaino olisi myös mukava saada suomeksi.

Arkhimedes: Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia
Suomentaneet Paavo Hohti, Sami Jansson, Tua Korhonen ja Vesa Vahtikari
Gaudeamus 2025, 214 s., sisältää Johan Sténin johdannon 82 s.
Kreikankieliset alkuperäiskirjoitukset ovat 200-luvulta eaa.